浮点数基值

一、核心公式分类记忆

将公式分为三大类：范围相关、数量相关，用“阶值（p）”“进位（rm）”和“尾数位数（m）”串联起来。

二、公式解析与记忆技巧

1. 基础参数

• 阶值（p）：二进制位数，决定指数范围。
• 进位（rm）：基值（如2进制rm=2，10进制rm=10）。
• rm进制m’位：m' = m / log₂rm
  记忆：将二进制位数m转换为rm进制的等效位数（例如，m=32位，rm=16进制 → m’=8位）。

2. 范围相关公式

• 可表示最小尾数：rₘ⁻¹
  记忆：规格化尾数首位不能为0，所以最小是1/rm（即rm⁻¹）。

• 可表示最大尾数：1 - rₘ⁻ⁿ（n为尾数位数）
  记忆：类似“0.999…”，即1 - 1/rmⁿ（例如rm=2，n=3 → 1 - 1/8 = 0.875）。

• 最大阶值：2ᵖ - 1
  记忆：p位二进制数的最大值（如p=8 → 255）。

• 可表示最小值：rₘ⁰ × rₘ⁻¹ = rₘ⁻¹
  记忆：最小尾数 × 最小指数（即rm^0 × rm⁻¹）。

• 可表示最大值：rₘ^(2ᵖ-1) × (1 - rₘ⁻ⁿ)
  记忆：最大阶值对应的指数 × 最大尾数。

3. 数量相关公式

• 可表示的尾数个数：rₘᵐ' × (rₘ - 1)
  记忆：尾数有m’位，首位有rm-1种选择（不能为0），后续每位有rm种选择。

• 可表示阶的个数：2ᵖ
  记忆：p位二进制数能表示2ᵖ个阶值（包括正负）。

• 可表示数的总数：2ᵖ × (rₘᵐ' × (rₘ - 1))
  记忆：阶的个数 × 尾数的个数。

三、速记口诀

1. 范围口诀：

   • 尾数最小rm⁻¹，最大1减rm⁻ⁿ。
   • 阶值最大2ᵖ减1，最值相乘两步走（尾数×rm^阶）。

2. 数量口诀：

   • 尾数个数rmᵐ'乘(rm-1)，阶数直接2ᵖ凑。
   • 总数相乘别遗漏，阶数尾数手拉手。

四、实例验证（以rm=2，p=3，m=4为例）

1. 基础参数：
   • m' = 4 / log₂2 = 4
2. 范围计算：
   • 最小尾数：2⁻¹ = 0.5
   • 最大尾数：1 - 2⁻⁴ = 0.9375
   • 最大值：2^(2³-1) × 0.9375 = 2⁷ × 0.9375 = 120
3. 数量计算：
   • 尾数个数：2⁴ × (2-1) = 16
   • 总数：2³ × 16 = 128种浮点数。

五、记忆流程图

阶值p → 2ᵖ阶个数
进位rm → 尾数范围[rm⁻¹, 1-rm⁻ⁿ]
m转rm进制得m' → 尾数个数=rmᵐ' × (rm-1)
总数=阶个数×尾数个数

通过分类、口诀和实例三步法，结合逻辑推导，可快速掌握公式本质，避免死记硬背！